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Das Rollparadoxon

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Rainer:
Ich habe auf Youtube eine faszinierende Aufgabe gesehen, die ich mal mitteilen wollte. Diese Aufgabe ist aus einem Aufnahmetest amerikanischer Universitäten. Der Clou ist, dass zur Frage 5 verschiedene Antworten vorgeschlagen wurden, wovon eine offensichtlich richtig ist - oder eben auch nicht. Nur drei von vielen hundert (oder tausend) Studenten behaupteten, dass von den 5 Antworten überhaupt gar keine richtig ist und schlugen eine andere Antwort vor. Zunächst wurden sie über ihre Antwort verspottet - bis jemand die Richtigkeit der Antwort aufgezeigt hat. Danach hat sich das zuständige Institut bei den Studenten entschuldigt und die Aufgabe inkl. (falscher) Lösungen wurde aus der Prüfung gestrichen.

Ich werde jetzt nur die Aufgabe zeigen und direkt fragen, was denn Eurer Meinung nach da herauskommt. Die (falschen) Antworten aus dem Test lasse ich weg, das ändert nicht viel. Die richtige Auflösung ist (ohne zu viel zu verraten) im ersten Moment unfassbar.

Hier kommt eine Grafik mit zwei aneinanderliegenden Scheiben. Die linke Scheibe A hat nur ein Drittel des Radiuses der rechten Scheibe B. D.h. die rechte Scheibe hat den dreifachen Durchmesser. Nun wird die Scheibe A um die Scheibe B im Uhrzeigersinn herumgerollt (die kleine Scheibe rollt rechts herum an der großen Scheibe), bis sie wieder auf der Ausgangsposition eintrifft. Die Frage lautet: wieviele Umdrehungen macht die kleine Scheibe auf ihrem Weg um die große Scheibe?



P.S.: Der Vollständigkeit halber - hier die Antwortmöglichkeiten aus dem Test:

a) 2
b) 3
c) 2*π (zwei mal pi)
d) 6
e) 9

Susan:
Hi,
man ist versucht, mit den Umfängen der beiden Scheiben zu rechnen. Der Kreis, den die kleine Scheibe beim Umlauf zurücklegt, ist aber größer als der Umfang der grossen. Daher ist tatsächlich keine der Lösungen richtig.
Ihr kommt drauf, wenn ihr das mal mit Geldstücken ausprobiert.

Christina:
Das ist genau die Art von Frage mit der ich überhaupt nichts anfangen kann :verlegen: Mir fehlt dafür völlig das räumliche Vorstellungsvermögen. Daher: keine Ahnung. Zum Glück gibt (oder gab's) keine solchen blöden Tests bei deutschen Unis.

Rainer:

--- Zitat von: Susan am 04. Dezember 2023, 18:00:23 ---Der Kreis, den die kleine Scheibe beim Umlauf zurücklegt, ist aber größer als der Umfang der grossen.

--- Ende Zitat ---

Nein, so kann es man es eigentlich nicht begründen. Der Außenrand der kleinen Scheibe durchläuft durchaus genau den Umfang der großen Scheibe. Der Mittelpunkt der äußeren Scheibe durchläuft eine längere Strecke, aber der Mittelpunkt ist ja auch weiter entfernt und wie ist der Zusammenhang zu den Umdrehungen? Die Begründung ist auch in der Tat schwierig, ich habe mir selbst aber noch eine (bzw. sogar zwei) andere Begründungen überlegt, die vielleicht einfacher zu erklären sind.

Fakt ist, dass ich auch von vorneherein gesagt habe, b) ist die richtige Lösung (3 Umdrehungen). Ist doch logo... Ich hatte befürchtet, dass der Autor dann sagt, das ist aber falsch - und dann hat er es auch noch getan und ich habe es einfach nicht verstanden. In dem Video wird auch ein mathematischer Beweis angeführt, den finde ich aber schlechter zu verstehen als mein eigener Versuch.

Immerhin, wir sind in guter Gesellschaft, die Unis in den USA haben es ja auch alle falsch gemacht. Der Tipp mit den Münzen ist sehr gut, da wird man zumindest erkennen, dass irgendetwas verrücktes passiert (am besten 2 x 1 Euro benutzen). Bei zwei gleich großen Münzen müßte ja die umrollende Münze genau eine Drehung machen....

Rainer:

--- Zitat von: Christina am 04. Dezember 2023, 18:07:03 ---Das ist genau die Art von Frage mit der ich überhaupt nichts anfangen kann :verlegen: Mir fehlt dafür völlig das räumliche Vorstellungsvermögen.

--- Ende Zitat ---

Räumlich ist es ja nicht einmal, allenfalls flächig.

Aber im Prinzip kann man doch folgendes überlegen: wenn ich die große Scheibe einmal abrolle, legt sie eine bestimmte Entfernung zurück. Die Entfernung entspricht genau dem Umfang der Scheibe. Der Umfang wird berechnet als 2*pi*radius.

Wenn man die kleine Scheibe abrollt (sie hat nur 1/3 als radius), dann kommt sie bei einer Umdrehung auch nur ein Drittel so weit, wie die große kommt. D.h. man muss die kleine Scheibe drei mal Rollen, damit sie soweit rollt wie die große Scheibe, die man nur einmal rollt. Und dann leuchtet es den meisten ein, dass man also die kleine Schreibe drei mal rollen muss, um sie um die große Scheibe herum zu rollen. Das ist so einleuchtend, dass es wirklich schwer zu begreifen ist, dass das falsch ist, obwohl es doch so klar zu sein scheint. Ich habe es auch überhaupt nicht verstanden, warum es nicht so sein sollte. Aber nach und nach wird es mir immer klarer.

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